教案的完善可以帮助教师更好地进行课堂管理和秩序维护，教案可以帮助教师更好地引导学生进行自主学习和合作学习，以下是顺风文档网小编精心为您推荐的数字1到50教案优质5篇，供大家参考。
数字1到50教案篇1
活动目标：
1、教幼儿认识数字1，知道它能表示物体的数量。
2、培养幼儿安静倾听老师和同伴的讲话。
活动准备：
教具：磁性教具：一只兔子。图片：一根萝卜。数字卡片1。
学具：铅笔、本子。
活动过程：
一、导入活动
1、今天老师请来了一只小动物来我们班做客，（出示小兔）它是谁？有几只小兔？
2、我们大家一起来看看小兔子还给我们带来了什么？（出示图片，一根萝卜。）请问有几根萝卜吖？
（引导幼儿正确并快速感知数量）
教师小结：一只小兔子拿了一根萝卜。
二、出示卡片数字1，引导幼儿感知数字1 的概念。
1、引出数字1。
师：我们知道一只小兔子和一根萝卜都可以用一个圆点来表示。那今天朱老师要来考考小朋友了，一只小兔子可以用数字几来表示呢？（数字1）那一根萝卜呢？（数字1）
教师小结：数字1可以表示所有数量为1的物体。
2、引导幼儿用数字1来表示相应数量的物体。
师：刚刚我们知道数字1可以表示所有数量为1的物体。比如说：数字1可以表示一只小兔子，数字1可以表示一根萝卜。那数字1还可以表示什么呢？你们可以看看我们的教室里，有没有什么东西可以用数字1表示的呢？你要用完整的语言来说哦，数字1可以表示什么呀？
（请幼儿有秩序的描述，完整的表达自己的想法，在讲完教室里的东西之后，可以让幼儿说说家里、外面的事物，尽量让幼儿说出更多数量为1的物体能和数字1联系在一起）
3、让幼儿熟记数字的样子。
师：数字1可以表示那么多的.东西，本领真大！那数字1的样子你知道吗？你觉得数字1像什么呢？（铅笔、木棍。。。）
（引导大胆想象，让幼儿更加能够熟记数字1的样子）
4、引导幼儿用右手在空中用手指写出数字1。
师小结：数字1像一条有点斜的竖线。
三、让幼儿学习正确书写数字1。
1、教师正确示范书写数字1。
2、提示幼儿要坐端正写字，同时要爱护自己的物品。
3、评价幼儿的书写情况。
注：教师巡视幼儿的书写情况，及时的发现、指导幼儿的书写。
四、收拾教具，结束活动。
1、幼儿有秩序的把学具收拾好。
2、教师评价幼儿的上课状况及书写情况。
数字1到50教案篇2
教学目标：
（一）情感、态度、价值观：
1．感受童谣的音韵美；
2．培养学生喜爱小动物、热爱大自然的情趣。
（二）知识要点：
1．学习并朗读这首童谣。
2．能正确认读本课11个生字。
（三）学法和习惯：
1．学习用指读的方法听读识字。
2．能在具体的语言环境中学习汉字。
教学重点：
认读本课的11个生字；通过朗读感受童谣的音韵美。
教学难点：
两、朋、友这三个字学生不常见，掌握起来是难点。
教学过程：
一、导入
小朋友，你们数学学数字了吗？（学了）今天这节语文课,我们就来学习一首和数字有关的儿歌“数字歌”（老师板书）。
二、讲授新课
1．这首小儿歌非常有趣，里面藏着好多小动物呢！打开书第11页看看你能不能很快找出都有哪些小动物。（训练学生说完整话。）
2．如果你们能数出这些动物朋友各有几只，他们就会从课本中跑出来和你们做游戏。请用数字标在图旁边。（老师把阿拉伯数字贴在黑板上。）学生汇报动物的只数，（要训练学生说完整话。）
学生每说出一种动物老师就在黑板上贴小动物的图片，并把它们贴到相对应的数字下面。
3．自己小声地读一读，把不认识的字用你喜欢的符号标出来。
4．听文录音，（整体感知课文）尤其要听清你不认识字的字音。在听录音时要用手指着每一个字，听到哪，指到哪。（培养学生指读习惯，渗透听读识字的方法。）
5．谁愿意当小老师，带着大家读？注意：边读边用手指着。读后，你有什么收获？
6．自己再读儿歌，如果还有不认识的字，你可以向同桌请教，也可以问老师。如果认识了，就把
记号擦掉。
7．你们学得真努力，课文里的字娃娃想看看你们是否真的认识它们了。瞧，他们偷偷的'溜出了门。
（从黑板上的课文中拿出一、两、三、四、五、六、七、八、九、十。）他和谁是朋友？（不按顺序出示，让学生把这些汉字与黑板上的数字一一对应贴。再单独拿每个汉字数字卡片让生读完返还到课文中。）
8．孩子们，还有几个字在跟我们捉谜藏，来看一看（出示卡片“小朋友”“数字”）每个词两生读，再齐读。
9．现在更难了，谁还会读？（出示“小”“朋”“友”“数”“两”“只”“个”这几个字让生单独认读。字为红色，读完贴在黑板上课文中的空白处）在读 “只”时，老师把“只’字放在课文中：三小羊、四鸡、五鸭，（生读。）谁还能照样子说说？再读“个”时，问生：看看周围，你还能想到什么？（引导生联系生活说出几个用“个”做量词的短语）你们不光字记的好，还能在生活中注意积累，真是很了不起。
10．我们手里都有生字小卡片，请两个同学一起互相说说“悄悄话”，说说你都认识哪个字了，怎么认识的？不会想想怎么办？
11．字娃娃都回家了，你们还愿意读课文吗？同桌两个人互相读：如果都他读对了，你就用你喜欢的方式，夸夸他。如果他不仅读对了，而且读得特别好，你可以奖励他一颗小星星。如果他还有不
认识的字，你就帮帮他。
三、复习巩固
1．师生对读。
2．男女生对读。
3．做数字拍手歌。（两人结成一组，用你拍一，我拍一的方式，填上数字歌的词，老师可先和一名同学做个示范。）
四、
谁说说你这节课的收获？
你们的收获课真不小，能用你们的收获小猫解决问题吗？出示第14页小猫钓鱼的图，全班共同作练习。
图中有：条船两只猫
个水桶条小鱼。
五、作业
我们的生活和数字密切相关，回家后你可以用数字画一幅画，也可以编一个有关数字的故事或儿歌；也可以找一找有关数字的儿歌。
附：板书设计
数字歌
一头牛两匹马三只羊四只鸡五只鸭
（一）（二）（三）（四）（五）
六只鸟七条鱼八只虾九条虫
（六）（七）（八）（九）
课后反思：
在听读识字的过程中，学生会说不会认，应增加汉字出现的几率，让学生多看，多认，才能达到认识的目的。利用学生喜闻乐见的儿歌形式，让学生通过吟诵儿歌达到识记汉字的目的，这种形式教学效果良好。
数字1到50教案篇3
活动目标：
1、寻找生活中的数字，初步了解数字在不同物品中表示的含义
2、能结合自己已有经验，创造性的运用数字。
3、对数字感兴趣，积极关注身边事物。
4、增强思维的灵活性。
5、培养幼儿边操作边讲述的习惯。
活动准备：
生活中有数字的物品（衣服鞋子、时钟、日历、图书、有生产日期保质期的食品包装袋）等
活动过程：
一、用特殊号码激发幼儿对数字的兴趣。
1、出示火警图片，师：小朋友们看看这是一组什么数字？你们知道它表示什么意思吗？打了119，谁会来呀？那让我们一起看看是不是火警叔叔会来！
2、出示110、120数字，师：这些数字又表示什么意思呢？看看拨打这个号谁又会出现？
师：原来这些数字有这么大的本领呢！
二、寻找生活中的数字，探索各种数字的不同含义
1、激发幼儿对数字的兴趣。
师：在我们的生活中有很多很多的数字，今天就有许多数字来到我们身边，让我们一起来找找吧（寻找身边的有数字的东西）
2、鼓励幼儿讲述自己的发现。
师：你是在什么东西上发现了数字，它表示什么意思？我们请个小朋友上来，把他的发现告诉大家？
衣服鞋子上的数字表示什么意思？（大小）图书上的数字表示什么（页码）钟面上的数字表示什么意思（表示时间）尺子上的数字表示什么意思（长度、宽度、高度等）
3、猜想老师提供的物品上面的数字有什么意义。
4、出示生产日期师：你们想想看，这些数字通常在哪里可以看到啊？那你知道它是什么意思吗？我们一起来看看它们有什么作用？
三、玩游戏抱抱团。
师：现在我们来玩一个关于数字的游戏，这个游戏的名字叫做抱抱团，小朋友们都很熟悉了吧，原来数字还能给我们的生活中带来这么多的快乐。
活动反思：
在本课中，我主要以培养幼儿学习数学兴趣为主要目的来进行教学，让幼儿能知道数学和我们的生活是密不可分的，让幼儿们在活动中去感受数字和我们生活中的关系，来引导幼儿去发现数字中的奥秘，能巧妙的`运用数字完成任务。
能通过在教学中的活动，让幼儿知道我们的生活和数字是分不开，数字在我们的生活中也会起到很大的作用。同时我举行多种活动能让幼儿为主体，幼儿们能积极的参与活动，能学习生活中的经验与知识。让幼儿们在玩中学、在学中玩，同时也能很好的完成本课的教学目标，培养了幼儿学习数学的兴趣。
数字1到50教案篇4
活动目标：
1.在认识“0-9”数字前提下，将它们进行排序。（正数，倒数，单数，按规律排序，图形，相邻数）
2.在比较观察中，发现数字在生活中的意义。
3.感受数字变形的神奇，萌发对数字的兴趣
4.让幼儿体验数学活动的乐趣。
5.通过各种感官训练培养幼儿对计算的兴致及思维的准确性、敏捷性。
重点：
让幼儿了解数字的用途。
难点：
运用数字找不同的规律
活动准备：
ppt课件黑板
活动过程：
一、教师展示ppt，引出数字
1.出示10个格子，幼儿观看并数出。
提问：“数一数你一共看到了几个格子？”
2.幼儿根据提示猜出每个格子中的数字宝宝。
师：“每个格子里躲着一个不同的数字宝宝，请你找一找，猜一猜，它们分别是数字几？”
“宝贝儿你找到了数字几？你是从那里看出来的？”
教师小结：宝贝们真棒，10个数字宝宝都找到了，它们分别是1、2、3、4、5、6、7、8、9，10二、幼儿自己给数字宝宝排序并分享老师的各种排列方式1.请幼儿自己给数字宝宝排序。（提示两种方式“顺数”“倒数”）师：“10个数字宝宝是我们生活中经常看到，听到、用到的。现在请你给这是个数字宝宝排排队，你会怎样排？你是按照什么样的顺序来排的？还有其他的方法吗？”
2.分享教师展示的各种排列方式。
（1）认识奇数 13579出示表格，上面一排填写奇数。请幼儿观察，并引导得出单数、双数。
师：“你看老师在上面的格子里放了哪些数字？那下面的格子里我会分别放数字几？”
（2）顺时针 圆形
（3）三角形
（4）左边从小到大 右边从大到
（5）相邻数
（6）按规律排序教师小结：数字排队不仅可以按照顺数和倒数来排，还可以排成不同的形状。
三、结合生活中的数字，幼儿理解这些数字宝宝所表示的意义。
1.幼儿交流讨论，说说生活中的数字提问：“在日常生活中数字也是无处不在的？你在哪里能经常看到数字？这些数字告诉了你什么？”
2.教师展示ppt中不同的物体，引导幼儿寻找、理解数字的意义。
（温度计、日历、目录、奶瓶）提问：“我们来看看老师在家里还找到了哪些数字？”看看我都找到了什么？你认识他们吗？”
“药瓶上是有数字的，它有什么用呢？”
教师小结：生活中到处有数字，它们有的告诉我们数量的多少，比如药水瓶上的数字；有的告诉我们日期是多少，比如日历上的数字；有的告诉我们位置在哪里，比如目录上的页码。所以说数字在生活中的用处是不一样的。
四、观察数字宝宝的组合图形，感受数字变形的神奇，萌发对数字的兴趣
1.幼儿逐一观察每个由数字宝宝构成的图形，了解数字变形的奇特之处。
师：“如果我把这十个数字合起来，会有什么好玩的事情发生呢？”出示图片，提问“说一说画的是什么图形？有那些数字组成？”
2.出示魔术师头像，引导幼儿观察并辨认数字充当了头像的哪个部分。
提问“7可能是他的什么？”
3.帮助幼儿找出“哪个数字没用过？”教给幼儿新的方法，从0开始，一个一个往下排除。
教师小结：数字宝宝变形之后可以组成很多有趣的东西，宝贝们以后自己可以试着用数字宝宝来画画哦！
五、活动延伸幼儿挑选自己喜欢的数字画，动手画一画。
教学反思：
幼儿园的数学活动相对于其他活动枯燥、单调，容易使幼儿失去学习兴趣。因为这个时期的幼儿年龄小，逻辑思维尚未发展，所以本次活动中我为幼儿创设了一个可操作的丰富材料的环境，为幼儿创设了一个可选择性、可操作性的空间。使幼儿能独立的操作材料，并大胆的表达自己的想法。幼儿的自主性，选择性，独立性得到了充分的体现。通过一系列的游戏活动，达到了主题总目标预设的要求。
数字1到50教案篇5
教学目标：
1、理解加法算式中未知数的意义。
2、会填加法算式中的未知数。
3、培养学生初步的逆向思维能力及语言表达能力。
教学重难点：使学生理解填未知加数的算理，能用自己的方法正确填出10以内加法算式中的未知加数。
教具准备： 挂图。
教学设计：
一、游戏引入。
1、师导入：小朋友，你们玩过扑克牌吗？现在，老师想和大家一起来玩一个小小的扑克牌游戏，你们有兴趣吗？
2、（师出示两张扑克牌的背面）：我这儿有两张扑克牌，你能猜出他们是几吗？你怎么猜的？（生胡乱猜后）你有什么依据吗？
3、看来，刚才大家都是瞎蒙的，现在老师再告诉你们一个条件，这两张牌合起来是9，猜猜，他们可能是几和几？（1和8、2和7、3和6、4和5）
4、刚才我们想出这几种可能，现在我告诉大家，这其中一张是7，你能知道另一张是几了吗？你是怎么想的？
5、再猜：如果两张牌合起来是8，其中一张是7，另一张是几？如果其中一张是2，合起来是10，另一张是几？
二、探究新知。
1、教学圆珠笔图。
师：（出示圆珠笔图），谁能说说你看到了什么？想到了什么？（已经有7支圆珠笔了，再放几支就是10支了）
已经有7支圆珠笔了，再放几支就是10支了，可以用一个算式来表示，7+（ ）=10
哪个小朋友知道这个算式怎么读？生试读，师示范读，生再次跟读。
师指出：（ ）就用来表示不知道的数，今天这节课，我们就来学习填小括号里的数。
谁能说说，括号里应该填几？你是怎样想出来的？同桌先交流，再汇报。
生汇报后师出示答案。
2、教学书p70小旗图。
有一位小朋友现在想考考大家（出示p70的小旗图），谁会读小红提的问题？你知道是什么意思吗？（已经画了6面小旗了，再画几面就是8面了。）
你能解决他提出的这个问题吗？请你在练习纸上画一画，再把小括号里的数填上。
先同桌交流，再指名几个同学反馈，说说是怎么想的。
3、直接填数。
看着图，小朋友们很快就能填出小括号里的数，如果老师只给同学们算式，你还会填吗？
出示：3+（ ）=5 （ ）+4=7 独立填好后，说说你的想法。
4、小结：刚才我们表现得都很好，小朋友都能用自己喜欢的方法来填小括号里的数，现在，我们来玩一个拍手游戏吧！
三、拍手游戏。
指定一个数，老师先拍，学生接着拍，要求学生拍的次数跟老师拍的次数加起来等于指定数。
四、巩固提高。
1、p70做一做1
先做一做，再交流。
2、做一做2。先出示第一行的点子图和算式5+（ ）=8，师：请小朋友把点子图和算式合起来看看，说说这是什么意思？
应该再画几个点子，你是怎么想的？
独立完成第二行和第三行。
3、填算式，看谁做得又对又快。独立完成后集体交流，并鼓励学生多说是怎样想的。
2+（ ）=8 （ ）+6=9 （ ）+1=7
1+（ ）=9 （ ）+5=7 2+（ ）=8
五、总结全课
这节课，你学会了什么，你有什么收获？
填未知加数教案 来自。
1、函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： , 。
2、若函数 既是奇函数又是偶函数，则 恒等于零，这样的函数有无数个。
3、如果点 是原函数图象上的点，那么点 就是其反函数图象上的点。
4、反函数的相关性质：
(1)互为反函数的两个函数具有相同的的单调性，单调区间不一定相同；
(2)定义域上的单调函数必有反函数；(函数单调只能作为存在反函数的充分条件)
只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数。(存在反函数的充要条件)
(3)奇函数的反函数也是奇函数。偶函数不存在反函数(定义域为单元素集的偶函数除外);
(4)周期函数不存在反函数；
(5)若 是连续单调递增函数，则" 与 的图象有公共点" " 的图象与直线 有公共点" "方程 有解";
(6)若 为增函数，则 与 的图象的交点必在直线 上；
(7)函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称；
(8)函数 与 的图象关于直线 对称。
5、两个函数相同，当且仅当它们的定义域和对应法则分别相同。
6、 对 恒成立 或 其中 。
7、二次函数的三种表现形式：
(1)一般式 ;
(2)顶点式： 其中 为抛物线顶点坐标；
(3)零点式： 其中 、 为抛物线与 轴两个交点的横坐标。
8、不等式中的恒成立问题与不等式的有解问题对比：
(1) 在 的定义域上恒成立 ;
(2) 在 的定义域上恒成立 ;
(3) 在 的定义域上有解 ;
(4) 在 的定义域上有解 。
某些恒成立问题有时通过分离变量(在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个为所求，这时可通过恒等变形将两个变量分置于等号或不等号两边)将恒成立问题转化为函数在给定区间上的最值问题，从而求解。
9、对于函数中的恒成立问题补充两点说明：
(1)若 恒成立，则m不一定为 的最大值。若 恒成立，则m不一定为 的最小值；
(2)若 恒成立，则 为的最大值，若 恒成立，则 为的最小值。
10、函数 的最小值为 。
11、重要工具函数 的性质：不妨设
(1) 时，函数在区间 上单调递增；
(2) 时，函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增。
12、关于函数对称性，奇偶性与周期性的关系：
类型之一：线线型 周期性
(1)若函数 在 上的图象关于直线 与 都对称，则函数 是 上的周期函数， 是它的一个周期。
(2)若函数 为偶函数，且图象关于直线 对称，则 为周期函数， 是它的一个周期。
类型之二：点线型 周期性
(1)若函数 在 上的图象关于点 和直线 都对称，则函数 是 上的周期函数， 是函数 在 上的一个周期。
(2)若函数 为偶函数，且图象关于点 成中心对称，则函数 为周期函数， 是它的一个周期。
(3)若函数 为奇函数，且图象关于直线 对称，则 为周期函数， 是它的一个周期。
类型之三：点点型 周期性
(1)若函数 在 上的图象关于相异两点 、 都对称，则函数 是 上的周期函数， 是它的一个周期。
(2)若函数 为奇函数，且图象关于点 成中心对称，则函数 为周期函数， 是它的一个周期。
13、由函数方程推导函数周期的常见类型：
(1)若函数 满足 ,则 ,则 是 上的周期函数，且 是它的一个周期。
(2)若函数 满足 ,则 是 上的周期函数，且 是它的一个周期。
(3)若对于任意一个实数 ,都有 ,则 是 上的周期函数，且 是它的一个周期。
(4)若对于任意一个实数 ,都有 ,则 是 上的周期函数，且 是它的一个周期。
(5)定义在 上的函数 ,若存在非零正实数 ,对于一切 ,都有 ,则 是以 为周期的函数。
(6)定义在 上的函数 ,若存在非零正实数 ,对于一切 ,都有 ,则 是以 为周期的函数。(过度关系： )
(7)定义在 上的函数 对于 都有 ,则 是以6为周期的函数。(过度关系：
(8)定义在 上的函数 对于 都有 ,则 是以6为周期的函数。
(过度关系： )
(9)若 是函数 的任意一个周期，则 的相反数 也是 的周期； 也是 的周期；若 都是 的周期，且 ,则 也是 的周期。
说明：对于(1)~(5),其代换函数，有如下特点：原函数与反函数相同，代换两次能够还原。如： 都是原函数与反函数相同的函数，即 。可见本章-24。
14、函数图象的自身对称问题：
(1)偶函数的图象关于y轴对称；(轴对称)
(2)奇函数的图象关于原点对称；(中心对称)
(3)定义在 上的函数 ,若满足 ,则函数 的图象关于直线 对称；( ,即："取平均值",与m的值无关)
(4)定义在 上的函数 ,若满足 ,则函数 的图象关于点 中心对称；
(5)定义在 上的函数 ,若满足 (或 ),则函数 的图象关于点 中心对称。
15、两函数图象间的对称问题：
(1)定义在 上的函数 与函数 的图象关于直线 对称；(其对称轴方程 由 解得，与m的值有关)
(2)定义在 上的函数 与函数 的图象关于点 中心对称；
(3)定义在 上的函数 与函数 的图象关于点 中心对称；
(4)特别地：①函数 关于x轴对称的函数为：
②函数 关于y轴对称的函数为：
③函数 关于原点对称的函数为：
④函数 关于 对称的函数为：
⑤函数 关于 对称的函数为：
⑥函数 关于直线 轴对称的函数为： ;
⑦函数 关于直线 轴对称的函数为： ;
⑧函数 关于点 中心对称的函数为： 。
16、若函数 为奇函数，且定义域为 ,则必有 。
若函数 是偶函数，那么 。
17、基本的函数图象变换：
(1)要作 的图象，只须将 的图象向上( 时)或向下( 时)
平移 个单位；
(2)要作 的图象，只须将 的图象向右( 时)或向左( 时)平移 个单位；
(3)要作 的图象，可先作函数 的图象，然后将 轴上方部分保持不变， 轴下方部分沿 轴对称上翻即可；
(4)要作 的图象，只需保留 在 轴右边的图象(擦去 轴左边的图解),然后将 轴右边部分对称地翻折到左侧即可。(注意 是偶函数)。
(5)要作 的图象，只须将 的图象作关于直线 对称，也可以将 的图象先作关于y轴对称，再向右( 时)或向左( 时)平移 个单位；
18、对称轴的斜率为 时的对称变换：
(1)曲线 关于直线 的对称曲线为 ;
(2)曲线 关于直线 的对称曲线为 ;
(3)点 关于直线 的对称点为 ;
(4)点 关于直线 的对称点为 。
19、函数 按向量 平移后的函数表达式为： ;
20、判断 符号可以1为分界点，当 在1的同侧( 或 )时， ;当 在1的两侧时， 。可以概括为："同向为正，异向为负"
21、关于函数 的定义域为 或值域为 的问题：
(1)若其定义域为 ,则须 在 上恒成立，问题等价为：
或 其中 ;
&nbs
或 其中 。
22、当且仅当 时，函数 与函数 的图象相切于直线 上的点 。
23、一次分式函数 的相关性质：
(1)定义域： ;
(2)值域： ;
(3)图像：双曲线线；
(4)渐近线： ;
(5)对称中心： ;
(6)单调性：①当 , 单调递减， 单调递减；
②当 , 单调递增， 单调递增；
特别地：当 ,即 时，函数 和其反函数 为同一函数。也即函数 的图像关于直线 对称。
24、用函数方程法求函数解析式应注意的问题
一般地，形如： ,其中 已知，要求 的解析式，通常的做法为：用 去替代原式中所有的 ,得到 ,若此式中的 ,则可以得到： ,再将此式与原式联立，消掉 ,就可以求出 ,故能用此法求解的关键在于： ,此式说明 必满足，原函数与反函数为同一函数。例如： , , 等。
25、抽象函数中的相关问题
(1)奇偶性的判断
①若 ( ),则 为奇函数；
②若 ( ),则 为奇函数；
③若 ( ),则 为偶函数；
④若 ( ),则 为奇函数；
⑤若 ,则 为偶函数。
(2)单调性的判断
① ;(作差比较函数值)
② 。(作差比较函数值)
26、求函数值域的类型与方法归类
(1)直接法，直接观察，根据式子的结构特征得出值域。
(2)配方法，适用于二次型函数： 。
(3)反函数法，分离x或关于x的表达式，求y的范围，形如： 等形式。
(4)判别式法，适用于二次分式函数： 。
(5)均值不等式法，适用于： ,注意一正二定三相等。
(6)换元法，适用于： ,可令 则 ,转化为二次型。
三角换元法，含 结构的函数中可 。
(7)单调法，利用导数求得函数的单调区间和极值，得到值域。
(8)数形结合法，转化成相应的几何意义，如：距离，斜率，角度等。
27、 , , , 。
28、 , ,
课题
小数乘小数
课型
新授课
教学目标双向细目表
学习水平层次
学习内容
识记（a）
理解（b）
简单情境中的应用(c)
复杂情境中的应用(d)
1、掌握小数乘小数的计算方法。
adic;
2、会用竖式计算小数乘小数。
adic;
备注
ab类学生能根据小数乘小数的计算方法熟练计算小数乘法。
cd类学生能正确计算小数乘小数乘法。
板书设计
×10
3 6
×2 8
2 8 8
7 2
1 0 0 8
小数乘小数
3.6
×10
×2.8
2 8 8
÷100
7 2
10 0 8
教后记
本课学习小数乘小数的计算方法，其教学的生长点是整数乘法。然而， 按整数乘法相乘后怎样得到原来的积，则需要经历一个严密的推理过程，在课中我安排了两次探究活动：第一次在例1，思考虚线框里三个箭头以及上面的 ×10÷100的意思，扶着学生经历推理过程；第二次在试一试，让学生在三个箭头上面的括号里填数，并写出左边竖式的积，独立进行推理。在两次探究以后，比较各题中两个因数与积的小数位数，发现两个因数一共有几位小数，积就有几位小数这一规律，在理解算理的基础上得出在积里点小数点的操作方法。同时通过归纳推理的方式总结出小数乘法的计算法则。由于学生已有整数乘法的经验，所以本节课学生学得都比较扎实。
教和学的过程
内容
教师活动
学生活动
一、在情景中引发问题
二、在推理中实现转化
1、师：（复习旧知）王老师刚买了房，想不想看看是什么样的？这是它的平面图。（停顿一会儿）。这里面有次卧室、客厅……（小孩会接着说），它们都是什么图形，要想知道它们的面积，需要知道什么信息？
师：我测量了一下次卧室的两条边的长度都是3米，说明它是一个？，客厅的两条边的长度分别是3.3米和5米，它们的面积分别可以怎么求呢？
老师板书（板书在黑板的最右边）。
师：……等于多少。?你是怎么算的？
师：还有什么不同的想法
师：王老师住在主卧室，它的面积怎么求？谁来列式。，（老师板书）
师：这道算式和前面的两道算式有什么不同点呢？
师：是的，这节课我们就一起来探索小数乘小数的计算方法。
（一）尝试计算，引导推理
1、估一估，确定积的范围
师：先估计一下，3.6×3.2的积大约是多少？你是怎样估计的。
师：这是一种估计的方法，还可以怎么估计？
师：要想知道准确的答案，你们能算算吗？打开练习纸，自己试着算一算。（老师巡视指导，选择正确的方法并让其板书）。
学生回答
（小孩会接着说）
生：长和宽/边长。
（正方形）
生：学生说算式，
学生说算法
（…..因为3.6是一位小数，所以积也是一位小数）
（学生说算式）
生：这道是小数乘小数。而前面两道分别是整数乘整数和小数乘整数。
学生说估算方法
生1：把3.6看成4,3.2看成3，4×3=12。
生2：可以把两个
因数看成3和3，
估计出结果一定
比9大。
学生独立计算
教和学的过程
内容
教师活动
学生活动
2、尝试计算（准备把尺子）
师：请你来说说你是怎么算的。
师：把3.6看成36，怎么变的，（板书箭头、乘10），2.8呢？（板书箭头、乘10）相乘。它们的积就？（乘100），要想得到原来的积，就要？（板书箭头、除以100），小数点怎么移动？……右边虚线框里的只是我们的思考过程，我们在列竖式计算的时候，还得按照左边的格式。
师：看来我们前面估算的结果还是比较接近正确答案的，和黑板上计算结果一样的请举手。（这里还有一位同学写的计算过程，帮他看一看，问题出在哪？我们还可以用什么方法来判断这个结果是错误的？这个答案符合刚才的估算范围吗？学会估算，还能帮助我们快速的进行验算。）
（二）独立推理，实现转化。
师：和王老师卧室相连的还有一个厨房。
师：厨房的面积是多少平方米呢？在练习纸上算一算（教师在下面指导，请一位完成的同学上黑板板书。）
师：你是怎么算的？
做对的同学请举手。
（三）专项对比，概括方法。
师：刚才我们计算了这两道小数乘小数，我们来看一看，为什么前面的积是两位小数，而后面的积却是三位小数呢？（手指着竖式）
师：说的非常好，看样子积的小数位数和因数的小数位数有着某种联系，是什么关系呢？在小组内相互说说。
生：把3.6和2.8分别看成整数36和28，8乘36乘得288，2乘36得72，积是1008。
学生说判断方法
学生独立完成
生：先用275乘19等于5225，小数点向左移动三位，是5.225。
生：前面一题两个因数都乘10，积就乘100，要想得到原来的积，小数点就要往左边移动两位。后面一题两个因数分别乘100和10，积就乘1000，要想得到原来的积，小数点
就往左边移动三位。
教和学的过程
内容
教师活动
学生活动
三、巩固练习，在应用中发展思维。
师：说的非常好，谁能把这句话说得更加精炼些。
师：这位同学的发言老师觉得有一个词用的非常好：一共，请你再大声的说一遍。
师：刚才我们了解了两个因数和积的小数位数之间的关系，那你用刚才的发现给下面各题的积点上小数点吗？
师：这些小数乘小数都是怎样计算的呢？在小组内说一说。谁再来补充。打开课本翻到第87页，练一练上面的方框里有两段文字，自己看一看，书上是怎么说的。谁再来说一说怎样计算小数乘小数。
1、师：看样子大家都会算小数乘小数了，其实在生活中经常会用到小数乘小数的知识，比如要求这个阳台的面积，你会算吗？独立列式计算。
师：（投影学生作品）说说你是怎么算的，反馈。
2、师：算一算、比一比，算好之后同座位之间相互说一说这三题之间的不同点和相同点。王老师看哪位同学写的又对又快，写好之后给老师一个信号。
不同点：第一题整数乘整数，第二题小数乘整数，第三题小数乘小数。那这三道题目在计算的时候还有什么相同点：计算方法是一样的，都要先算整数乘整数。这两题算出结果之后还要….根据…..（因数一共有几位小数，点上小数点）
师：我来采访一下，你怎么算的那么快啊，你是怎么算的？
3、那你能用我们刚才的发现，根据第一栏的积快速的算出其它各栏的积吗？
生1：因数的小数位数之和就是积得小数位数。
生2：因数一共有几位小数，积就有几位小数。
生：先按整数乘法算出积是多少，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
学生回答
学生独立计算
学生说不同点、相同点
生：三题都是先算小数乘小数，再点小数点。
学生说答案
教和学的过程
内容
教师活动
学生活动
4、老师这还有一道算式346×12=4152，根据这个算式，你还能很快的算出哪些算式？自己先在练习纸上写一写。
师：你真是一个善于联想的学生，这么复杂的式子都能想的出来，这样的例子举得完吗？
5、总结：这节课我们学习了小数乘小数，你有哪些收获和体会？计算时要注意些什么？（谢谢你提醒大家要注意）
学生在练习纸上完成
学生举例子
学生说注意点
一、教学目标：
1、知识目标：学生能理解函数的概念，掌握常见的函数（sum,average,max,min等）。学生能够根据所学函数知识判别计算得到的数据的正确性。
2、能力目标：学生能够使用函数（sum,average,max,min等）计算所给数据的和、平均值、最大最小值。学生通过自主探究学会新函数的使用。并且能够根据实际工作生活中的需求选择和正确使用函数，并能够对计算的数据结果合理利用。
3、情感目标：学生自主学习意识得到提高，在任务的完成过程中体会到成功的喜悦，并在具体的任务中感受环境保护的重要性及艰巨性。
二、1、教学重点
sum函数的插入和使用
2、教学难点
函数的格式、函数参数正确使用以及修改
三、教学方法
任务驱动，观察分析，通过实践掌握，发现问题，协作学习
四、教学素材准备
excel文件《2000年全国各省固体废弃物情况》、统计表格一张
五、教学内容和过程
教学过程
设计意图
学生活动
一、情景引入：
1、展示投影片，创设数据处理环境。
2、以环境污染中的固体废弃物数据为素材来进行教学
3、展示《2000年全国各省固体废弃物情况》工作簿中的《固体废弃物数量状况》工作表，要求根据已学知识计算各省各类废弃物的总量。
利用自动求和函数sum分析函数的基本格式：一个完整的函数包括函数名和参数两部分
函数名表示函数的计算关系
=sum（起始单元格：结束单元格）
例如“sum”表示统计指定的单元格的值的和，以“=”为函数的起始，sum为函数名，中为函数的参数，参数是在函数中参于计算的数值（例子中为统计区域）参数被小括号包围，可以是常量、公式或其它函数。“:”表示中文到的意思
4、问：求某一种废弃物的全国总量用公式法和自动求和哪个方便？
注意参数的正确性
二、新课教学：
1、简单描述函数：函数是一些预定义了的计算关系，可将参数按特定的顺序或结构进行计算。
在公式中计算关系是我们自己定义的，而函数给我们提供了大量的已定义好的计算关系，我们只需要根据不同的处理目的去选择、提供参数去套用就可以了。
2、使用函数sum计算各废弃物的全国总计。（强调计算范围的正确性）
3、通过介绍average函数学习函数的输入
函数的输入与一般的公式没有什么不同，用户可以直接在“=” 后键入函数及其参数。例如我们选定一个单元格后，直接键入“=average(d3:d13)”就可以在该单元格中创建一个统计函数，统计出该表格中比去年同期增长%的平均数。
（参数的格式要严格；符号要用英文符号，以避免出错 。）
有的同学开始瞪眼睛了，不大好用吧？
因为这种方法要求我们对函数的使用比较熟悉，如果我们对需要使用的函数名称、参数格式等不是非常有把握，则建议使用“插入函数”对话框来输入函数。
用相同任务演示操作过程。
4、引出max和min函数
探索任务：利用提示应用max和min函数计算各废弃物的最大和最小值
5、引出countif函数
探索任务：利用countif函数按要求计算并体会函数的不同格式。
三、根据统计分析数据
1、教师小结比较。
2、根据得到的数据引发出怎样的思考。
四、课堂练习
1、废弃物数量大危害大，各个省都在想各种办法进行处理，把对环境的污染降到最低。
2、研究任务：运用表格数据，计算各省废弃物处理率的最大，最小值，以及废弃物处理率大于90%，小于70%的省份个数，并对应计算各省处理的废弃物量和剩余的废弃物量及全国总数。
五、总结
1、分析存在问题，表扬练习完成比较好的同学，强调鼓励大家探究学习的精神
2、把结果进行记录，上缴或在课后进行分析比较，写出一小论文
1、让学生体会到固体废弃物数量的巨大。
2、处理真实数据引发学生兴趣
通过比较得到两种方法的优劣
学生的计算结果在现实中的运用，真正体现信息技术课是收集，分析数据，的工具。
通过类比学习，提高学生的自学能力和分析问题能力
实际数据，引发思考
学生应用课堂所学知识
学生带着任务离开教室，课程之间整合，学生环境保护知识得到加强
观看投影
学生用公式法和自动求和两种方法计算各省废弃物总量
回答可用自动求和
动手操作
计算各类废气物的全国各省平均
练习
练习
用自己计算所得数据对现实进行分析
应用所学知识
练习并记录数据
教学内容：教材第86-87页
教学要求：
1、让学生认识计数单位“万”“十万”“百万”“千万”，了解这些计数单位间的十进关系，掌握亿以内的数位顺序，认识整万数，初步了解我国的数位分级，会正确地读写整万数。
2、让学生通过了解一些具体事物数量的多少，增强数感，感受整万数在生活和☆.1mi.net☆学习中的价值，培养学习整万数的兴趣和，增强应用意识，提高应用能力。
教学重点：
掌握亿以内的数位顺序，正确读写整万数。
教学难点：
了解整万数的含义，感受大数目的数值。
教学过程：
一、游戏引入，复习旧知
1、拔珠游戏：知道每位上最多可拔几颗珠子？为什么？（满十进一）现在请同学们分别在计数器上拔出3、30、300、3000这四个数。
2、交流发现：刚才我们用同样珠子拨出了相同的数。为什么两样用3颗珠子却能拨出不同的数呢？（数位不同，板书：数位：千位百位 十位 个位）每个数位上3分别表示什么意思？（板书：数位：千位 百位 十位 个位）
二、操作探究，建构新知
（一）类比创造，构建数位顺序表
1、联想：如果接着进行拨数，应该拨多少？（三万）
2、创造：你能想办法在计算器上拨出3万吗？
学生可能会出现两种情况：一是学生会说在千位上拨出30颗珠子。二是学生认为把两个计算器进行合并。
3、交流：这个3还表示3个一吗？它应该表示3个万。照这样类推，左边的十、百、千可以分别改成十万、百万、千万。
4、体验：想象一下，我们学校约有1500人，多少个寨桥小学约有3万人？
5、建构：原来，新增加的计数单位千万、百万、十万、万和原来的四个计数千、百、十、个之间还存在着一一对应的关系呢！正因为如此，我国的计数方法中把这四个数位统称为万级，而原先的千位、百位、十位、个位则统称为个级。
（二）联系生活，构建读写数的方法
1、读一读：读一读2003年我国茶叶、甘庶和油菜籽的总产量。
2、拨一拨：你能在读数器上表示这些数吗？你能说说你是怎么想的吗？
3、写一写：你能在纸上写出这些数来吗？
4、说一说：刚才我们借助计算器认识了三更大的数，观察这三个数，你觉得这三个数有什么共同点？像这样个级上都是零，表示多少个万的数就是我们今天所学的整万数。
三、巩固练习，深化认识
1、做“想想做做”第2题
（1）谈话：下面这些数你能写出来吗？
（2）写一写并读一读。
2、做“想想做做”第3题。
（1）听写：就一次我们仍就来写数，不过老师有个要求，如果报的数需要在个级上拨珠，请左边同学写出来，如果报的数需要在万级上拨珠，请右边同学写出来。教师报同6个数。（想想做做的第一列）
（2）交流：同桌间读一读，你有什么发现？引导学生可以用画分级线的方法来进行读数和写数。
（3）应用：用这种方法给第二列分一分、读一读。
3、做“想想做做”第4题
（1）读一读：读一读北京天安门和颐和园的占地面积。
（2）比一比：我们的教室面积约为50平方米，天安门的面积大约有几个教室那么大？
我们的学校的面积约为30000平方米，颐和园的面积大约有几个寨桥小学那么大？
（3）说一说：你有什么感受？
4、做“想想做做”第5题
（1）想一想：出示第5题，想一想六千五百万和七十万应该怎么写？
（2）读一读：你有什么感受？
四、全课总结，扩展延伸
你有什么收获？还有什么疑问？如果教师要把开始的游戏接着玩下去，应该拨哪个数？如果要拨了一个九位数能吗？
反思：
这节课是在学生已经认识了万以内数的基础上进行的，通过教学让学生认识计数单位“万”“十万”“百万”“千万”。了解计数单位的十进制关系，掌握亿以内的数位顺序表。并能正确地读写整万数。
1、造就冲突，激发兴趣
这节课开始我设计了让学生在计数器上拨出3、30、300、3000这四个数，学生拨珠中唤醒自己的已有知识和经验，认识到同一个数在不同的数位上表示不同的意思。然后让学生让在计数器拨出30000，这对于学生来说是一个挑战，因为学生用已有的知识无法解决这个问题，造就了学生的认知冲突，激发学生探究的兴趣。
2、类比创造，建构新知
让学生在计数器上拨出30000，学生会根据已有知识会在千位上拨30颗，也可能会根据刚才游戏的经验进行类比联想，既然位数不够，就可以在计数器的左边在添上数位，甚至有的学生会想到把两个计数器合并起来。在交流中完成对亿以内数位顺序表的建构。
3、联系生活，培养数感
让学生去读一读、拨一拨、写一写，比一比，说一说去认识生活中的整万数，让学生在读、拨、写中掌握整万数的读写方法。在比一比、说一说中去感受整万数的大小，培养学生的数感。
第一课时素质教育目标 （一）知识教学点 1.使学生初步了解统计知识是应用广泛的数学内容 . 2.了解平均数的意义，会计算一组数据的平均数 . 3.当一组数据的数值较大时，会用简算公式计算一组数据的平均数 . （二）能力训练点 培养学生的观察能力、计算能力 . （三）德育渗透点 1.培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯 . 2.渗透数学来源于实践，反地来又作用于实践的观点 . （四）美育渗透点 通过本课的学习，渗透数学公式的简单美和结构的严谨美，展示了寓深奥于浅显，寓纷繁于严谨的辩证统一的数学美 . 重点·难点·疑点及解决办法 1.教学重点：平均数的概念及其计算 . 2.教学难点：平均数的简化计算 . 3.教学疑点：平均数简化公式的应用，a如何选择 . 4.解决办法：分清两个公式，公式②的运用要选择一个适当的a . 教学步骤 （一）明确目标 在日常生活中，我们常与数据打交道，例如，电视台每天晚上都要预报第二天当地的最低气温与最高气温，商店每天都要结算一下当天的营业额，每个班次的飞机都要统计一下乘客的人数等。这些都涉及数据的计算问题。请同学们思考下面问题。（教师出示幻灯片） 为了从甲乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验。两人在相同条件下各射靶10次，命中的环数如下： 甲 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 1.怎样比较两个人的成绩？2.应选哪一个人参加射击比赛？ 教师要引导学生观察，给学生充分的时间去思考，并可以分成小组讨论解决办法。 对于这个问题，部分学生可能感到无从下手，部分学生可能想到去比较两组数据的平均，让学生动手具体算一下两组数据的平均数结果它们相等在学生无法解决此问题的情况下，教师说明，这正是本章要解决的问题之一（写出课题）.这样做的目的是教师有意创设问题情境、制造悬念，这不仅能激发学生学习的积极性和自觉性，引起学生对所学课程的注意，还能诱发学生探求新知识的浓厚兴趣。 （二）整体感知 解决类似上述的问题要用到统计学的知识，统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据并据之做出推断的科学，它以概率论为基础，着重研究如何根据样本的性质去推测总体的性质。在当今的信息时代，统计学的应用非常广泛，以至于它已渗透到整个社会生活的各个方面。本章我们将学习统计学的一些初步知识。 （三）教学过程 这节课我们首先来学习平均数。 1.（出示幻灯片）请同学看下面问题： 某班第一小组一次数学测验的成绩如下： 86 91 100 72 93 89 90 85 75 95 这个小组的平均成绩是多少？ 教师引导学生动笔计算，并找一名学生到黑板板演，讲完引例后，引导学生归纳出求平均数方法，这样做使学生对平均数的计算公式能有深刻的认识 . 2.平均数的概念及计算公式 一般地，如果有n个数x1、x2、x3、x4…xn ,那么x=( x1+x2+x3+x4+…+xn)/n ① 叫做这n个数的平均数， 读作“x拨” . 这是在初中数学课本中第一次出现带有省略号的用字母表示的n个数相加的一般写法 .学生对此可能会感到比较抽象，不太习惯，要向学生强调，采用这种写法是简化表示，是为了使问题的讨论具有一般性 .教师应通过对公式的剖析，使学生正确理解公式，并掌握公式中各元素的意义 . 3.平均数计算公式①的应用 例1 一个地区某年1月上旬各天的最低气温依次是（单位：℃）： －6，－5，－7，－6，－4，－5，－7，－8，－7 求它们的平均气温 . 让学生动手计算，以巩固平均数计算公式（一名学生板演） 教师应强调：①解题格式 .②在统计学里处理的数据包括负数 .③在本章中，如无特殊说明，平均数计算结果保留的位数与原数据相同 . 例2 从一批机器零件毛坯中取出20件，称得它们的质量如下（单位：千克）： 210 208 200 205 202 218 206 214 215 207 195 207 218 192 202 216 185 227 187 215 计算它们的平均质量 .（用投影仪打出） 引导学生两人一组完成计算，然后一起对答案 .由于数据较大，计算较繁，可能会出现不同的答案 .正好为下面提出简化计算公式作好铺垫 . 教师提出问题：像例2这样，数据较大，计算较繁，因而容易出错，有没有较为简便的算法呢？引导学生观察数据有什么特点？都接近于哪一个数？启发学生讨论，寻找简便算法 . 学生回答：数据都在200左右波动，可将各数据同时减去200，转而计算一组数值较小的新数据的平均数，至此让学生再一次两人一组用简便方法计算例2，并与前面计算的结果相比较是否一样 . 讲完例2后，教师指出几点：常数a的取法不是惟一的； 读作“x——撇——拨”；；简化计算的结果与前面毛算的结果相同 . 通过学生的动手计算，若产生困难或错误，教师及时点拨，引导学生寻找解决问题的方法，这不仅可以激发学生学习的兴趣，更培养了学生的发散思维能力，同时也使学生对公式②的推导更容易接受 . 3.推导公式② 一般地，当一组数据 的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到x1▎=x1-a, x2▎=x2-a, x3▎=x3-a, ┅xn▎=xn-a,那么x▎=x-a ② 为了加深学生对公式②的认识，再让学生指出例2的平均质量各是什么？（学生回答） 课堂练习： 教材p148中～p149中1，2，3 （四）总结、扩展 知识小结：1.统计学是一门与数据打交道的学问，应用十分广泛 .本章将要学习的是统计学的初步知识 . 2.求n个数据的平均数的公式① . 3.平均数的简化计算公式② .这个公式很重要，要学会运用 . 方法小结：通过本节课我们学到了示一组数据平均数的方法 .当数据比较小时，可用公式①直接计算 .当数据比较大，而且都在某一个数左右波动时，可选用公式②进行计算 . 八、布置作业 教材p153中1、2、3、4 .
二、复习要求
1、 三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；
2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；
3、三角函数的图象及性质。
三、学习指导
1、角的概念的推广。从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定(通常把角的始边放在x轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同)。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成k·3600 α的形式，特例，终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800,k∈z},终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800 900,k∈z},终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900,k∈z}。
在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。
弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式l=|α|r,扇形面积公式 ,其中α为弧所对圆心角的弧度数。
2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。
设p(x,y)是角α终边上任一点(与原点不重合),记 ,则 , , , 。
利用三角函数定义，可以得到(1)诱导公式：即 与α之间函数值关系(k∈z),其规律是"奇变偶不变，符号看象限";(2)同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。
3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式：cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,变形后得 ,可以作为降幂公式使用。
三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。
4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义：设t为非零常数，若对f(x)定义域中的每一个x,均有f(x t)=f(x),则称t为f(x)的周期。当t为f(x)周期时，kt(k∈z,k≠0)也为f(x)周期。
三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。
5、本章思想方法
(1) 等价变换。熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；
(2) 数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；
(3) 分类讨论。
四、典型例题
例1、 已知函数f(x)=
(1) 求它的定义域和值域；
(2) 求它的单调区间；
(3) 判断它的奇偶性；
(4) 判断它的周期性。
分析：
(1)x必须满足sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及 ,k∈z
∴ 函数定义域为 ,k∈z
∵
∴ 当x∈ 时，
∴
∴
∴ 函数值域为[ )
(3)∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称
∴ f(x)不具备奇偶性
(4)∵ f(x 2π)=f(x)
∴ 函数f(x)最小正周期为2?
注；利用单位圆中的三角函数线可知，以ⅰ、ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；
以ⅱ、ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx cosx的符号，如图。
例2、 化简 ,α∈(π,2π)
分析：
凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式
∵
∴ 原式=
∵ α∈(π,2π)
∴
∴
当 时，
∴ 原式=
当 时，
∴ 原式=
∴ 原式=
注：
1、本题利用了"1"的逆代技巧，即化1为 ,是欲擒故纵原则。一般地有 , , 。
2、三角函数式asinx bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为 (取 )是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx,±sinx± cosx,要熟练掌握变形结论。
例3、 求 。
分析：
原式=
注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。
例4、已知00t;αt;βt;900,且sinα,sinβ是方程 =0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。
分析：
由韦达定理得sinα sinβ= cos400,sinαsinβ=cos2400-
∴ sinβ-sinα=
又sinα sinβ= cos400
∴
∵ 00t;αt;βt; 900
∴
∴ sin(β-5α)=sin600=
注：利用韦达定理变形寻找与sinα,sinβ相关的方程组，在求出sinα,sinβ后再利用单调性求α,β的值。
例5、(1)已知cos(2α β) 5cosβ=0,求tan(α β)·tanα的值；
(2)已知 ,求 的值。
分析：
(1) 从变换角的差异着手。
∵ 2α β=(α β) α,β=(α β)-α
∴ 8cos[(α β) α] 5cos[(α β)-α]=0
展开得：
13cos(α β)cosα-3sin(α β)sinα=0
同除以cos(α β)cosα得：tan(α β)tanα=
(2) 以三角函数结构特点出发
∵
∴
∴ tanθ=2
∴
注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。
例6、已知函数 (a∈(0,1)),求f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。
分析：
对三角函数式降幂
∴ f(x)=
令
则 y=au
∴ 0t;at;1
∴ y=au是减函数
∴ 由 得 ,此为f(x)的减区间
由 得 ,此为f(x)增区间
∵ u(-x)=u(x)
∴ f(x)=f(-x)
∴ f(x)为偶函数
∵ u(x π)=f(x)
∴ f(x π)=f(x)
∴ f(x)为周期函数，最小正周期为?
当x=kπ(k∈z)时，ymin=1
当x=kπ (k∈z)时，ynax=
注：研究三角函数性质，一般降幂化为y=asin(ωx φ)等一名一次一项的形式。
同步
(一) 选择题
1、下列函数中，既是(0, )上的增函数，又是以π为周期的偶函数是
a、y=lgx2 b、y=|sinx| c、y=cosx d、y=
2、 如果函数y=sin2x acos2x图象关于直线x=- 对称，则a值为
a、 - b、-1 c、1 d、
3、函数y=asin(ωx φ)(a>0,φ>0),在一个周期内，当x= 时，ymax=2;当x= 时，ymin=-2,则此函数解析式为
a、 b、
c、 d、
4、已知 =1998,则 的值为
a、1997 b、1998 c、1999 d、
5、已知tanα,tanβ是方程 两根，且α,β ,则α β等于
a、 b、 或 c、 或 d、
6、若 ,则sinx·siny的最小值为
a、-1 b、- c、 d、
7、函数f(x)=3sin(x 100) 5sin(x 700)的最大值是
a、5.5 b、6.5 c、7 d、8
8、若θ∈(0,2π],则使sinθt;cosθt;cotθt;tanθ成立的θ取值范围是
a、( ) b、( ) c、( ) d、( )
9、下列命题正确的是
a、 若α,β是第一象限角，α>β,则sinα>sinβ
b、 函数y=sinx·cotx的单调区间是 ,k∈z
c、 函数 的最小正周期是2?
d、 函数y=sinxcos2φ-cosxsin2x的图象关于y轴对称，则 ,k∈z
10、 函数 的单调减区间是
a、 b、
b、 d、 k∈z
(二) 填空题
11、 函数f(x)=sin(x θ) cos(x-θ)的图象关于y轴对称，则θ=________。
12、 已知α β= ,且 (tanαtanβ c) tanα=0(c为常数),那么tanβ=______。
13、 函数y=2sinxcosx- (cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为________。
14、 已知(x-1)2 (y-1)2=1,则x y的最大值为________。
15、 函数f(x)=sin3x图象的对称中心是________。
(三) 解答题
16、 已知tan(α-β)= ,tanβ= ,α,β∈(-π,0),求2α-β的值。
17、 是否存在实数a,使得函数y=sin2x acosx 在闭区间[0, ]上的最大值是1?若存在，求出对应的a值。
18、已知f(x)=5sinxcosx- cos2x (x∈r)
(1) 求f(x)的最小正周期；
(2) 求f(x)单调区间；
(3) 求f(x)图象的对称轴，对称中心。
参考答案
(一) 选择题
1、b 2、b 3、b 4、b 5、a 6、c 7、c 8、c 9、d 10、b
(二) 填空题
11、 ,k∈z 12、 13、-4 14、 15、( ,0)
(三) 解答题
16、
17、
18、(1)t=?
(2)增区间[kπ- ,kπ π],减区间[k?
(3)对称中心( ,0),对称轴 ,k∈
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